Newsletter #1

O começo de uma jornada extraordinária.

Hoje marca o início da nossa newsletter, um capítulo importante da nossa história. Nossa proposta é simples: matemática para a vida real. Em 5 minutos. E de graça!

Esta edição foi preparada com carinho para você, leitor. Repasse o favor e compartilhe a edição ajudando alguém que possa se beneficiar dela. Generosidade rs.

Matemática na vida real. Exponenciação.

Nesta primeira edição, falaremos sobre exponenciação. Em particular no contexto de finanças ("ka-ching").

Talvez você já deva ter ouvido sobre modalidades de investimento a juros compostos. Mas como isso funciona? A gente explica:

Se um banco oferece uma taxa de juros de 10% e uma pessoa resolva aplicar ("emprestar" ao banco) R$ 100 a essa taxa, temos:

• Após o 1º ano, essa pessoa teria na sua conta os R$100 iniciais (o chamado principal) mais 10% do valor inicial ou seja, um décimo dos R$100.
  
  Para calcular a porcentagem de um certo número, basta multiplicar tal número pela porcentagem. Já que 10% é igual a 10/100 = 0.1, 10%  de R$100 seria 0.1*100 = 10, ou seja R$10.
  
  Assim, ao final do 1º ano essa pessoa terá R$110, já que 100 + 0.1*100 = 110.
  

• Após o 2º ano, essa pessoa recebe novamente10%, mas agora dos R$110 acumulados após o 1º ano. Assim, ao final do 2º ela terá R$121, já que 110 + 0.1*110 = 121.
   

• E ao final do 3º ano? Mais uma vez, ela terá o que acumulou, acrescido dos 10% de juros, ou seja 121+0.1*121 = 133.1. Resultando em R$133,10 na sua conta no final do 3º ano. 

Tudo bem até aqui? Caso sim, vamos continuar. Caso não, você pode responder a esse email que te ajudamos a entender melhor! 

E se essa pessoa quiser simular o valor que terá após 20 anos, teria que fazer todos esses cálculos até lá? Não, tem um jeito mais simples.

Note o que fizemos para chegar ao valor ao final do 3º ano: somamos ao valor do início do ano o juros pagos ao final, ou seja 121+0.1*121. Mas de onde veio esse 121? É o valor após o final do 2º ano que vimos lá em cima: 110 + 0.1*110.

Vamos reescrever o 121 na expressão 121+0.1*121 utilizando a expressão 110 + 0.1*110. Temos então (110 + 0.1*110)+0.1*(110 + 0.1*110). Podemos simplificar essa conta utilizando a propriedade distributiva da multiplicação.

Assim (110 + 0.1*110)+0.1*(110 + 0.1*110) = (1+0.1)*(110 + 0.1*110). Repetindo a propriedade distributiva isolando o valor 110 na parte azul, temos (1+0.1)*( 110*(1+0.1) ), e com a propriedade associativa da multiplicação: (1+0.1)*110*(1+0.1).

A multiplicação tem ainda uma propriedade interessante que se chama comutativa. Isso quer dizer que não importa a ordem que você realize multiplicações, o resultado sempre será o mesmo.

Assim 3*2 = 6 do mesmo modo que 2*3=6. Ou 2*5*3 = 30 do mesmo modo que 5*2*3 = 30. E (1+0.1)*110*(1+0.1) = 110*(1+0.1)*(1+0.1). 

Repare que o número (1+0.1) aparece multiplicado por ele mesmo. Para escrever multiplicações de números que se repetem, podemos usar uma forma mais curta e escrever (1+0.1)² ao invés de (1+0.1)*(1+0.1). 

O 2 no topo indica quantas vezes (1+0.1) será multiplicado por ele mesmo. Se fosse 3, teríamos  (1+0.1)³ = (1+0.1)*(1+0.1)*(1+0.1). E se mantivéssemos o 3, mas ao invés do termo (1+0.1) houvesse 7, escreveríamos 7³ = 7*7*7. 

Ao termo que se repete damos o nome de base e ao que indica quantas vezes a base será multiplicada por ela mesmo, expoente.

A essa forma compacta de expressar a multiplicação de um número por si mesmo várias vezes, chamamos exponenciação.

Assim, o valor obtido ao final do 3º ano será 110*(1+0.1)². Você pode confirmar que a expressão acima resulta no mesmo valor anterior de 133.10 (veja no final deste artigo como fazer isso com sua calculadora). 

Maaaaaaas de onde veio o valor de 110 acima? 110 é o valor ao final do 1º ano que calculamos como 100 + 0.1*100. Substituindo na expressão 110*(1+0.1)² de modo similar ao que usamos para substituir o 121, teremos:

1. Substituindo 110 por sua expressão temos 110*(1+0.1)² = (100 + 0.1*100)*(1+0.1)²

2. Utilizado a propriedade distributiva temos (100 + 0.1*100)*(1+0.1)² = ( 100*(1 + 0.1) )*(1+0.1)²

3. Pela propriedade comutativa 100*(1 + 0.1)*(1+0.1)² = 100*(1+0.1)² (1 + 0.1) onde (1 + 0.1) é multiplicado por si mesmo um total de três vezes. Assim 100(1+0.1)² (1 + 0.1) = 100(1+0.1)³

O que significa que 100*(1+0.1)³, mais uma vez representa o valor obtido ao final do 3º ano por uma pessoa que aplicou seus R$ 100 a uma taxa de juros de 10% ao ano.

E quanto ela terá após quatro anos? seguindo o padrão que vimos até aqui: o valor no final do terceiro ano adicionado de 10% desse valor. Ou seja 100*(1+0.1)³ + 0.1*100*(1+0.1)³.

E mais uma vez utilizado a propriedade distributiva teremos 100*(1+0.1)³ + 0.1*100*(1+0.1)³ = (1+0.1)*100*(1+0.1)³. Com a comutativa 100*(1+0.1)³ (1+0.1) o que indica que ao final do quarto ano essa pessoa terá 100(1+0.1)⁴.

Vê esse padrão? ano após ano teremos uma expressão que segue uma forma rígida, com exceção do expoente: no terceiro ano vale 3, no quarto ano, 4... e no vigésimo ano? isso mesmo, 20. 

Desse modo, se essa pessoa quiser simular o valor que terá após 20 anos basta calcular 100*(1+0.1)²⁰ que usando uma calculador resulta em um valor de aproximadamente R$ 740.02. 

Caso tenha ficado em dúvida em qualquer uma das passagens acima, mande mensagem. Ficaremos feliz em ajudá-lo!

Desafio do dia.

Mande sua resposta do desafio que corrigimos para você! 

Um investidor aplicou um principal de R$ 2.000,00 em um investimento a juros compostos com taxa de juros de 8% ao ano durante 15 anos. Qual o valor dos juros recebidos ao final do período?

Sugestão de leitura.

O poder do pensamento matemático, Jordan Ellenberg

A dica de leitura dessa edição é o livro "O poder do pensamento matemático: a ciência de como não estar errado" do escritor Jordan Ellenberg.

O livro apresenta de maneira clara e direta, vários tópicos da matemática e como eles são utilizados no dia-a-dia das pessoas.

Muito marcante é a abertura do livro, onde o autor começa dando um exemplo prático do que veio a se chamar "viés de sobrevivência". Vale muito a leitura!

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Por hoje é só, obrigado pelo seu tempo, e até a próxima!